四川省蓉城名校联盟2024-2023学年高一下学期期末联考数学

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四川省蓉城名校联盟2024-2023学年高一下学期期末联考数学试卷答案

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3．设函数y=f（x）的定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），当x≠y时，f（x）≠f（y）
（1）证明：f（0）=1；
（2）证明：对任意的x∈R都有f（x）＞0；
（3）证明：函数f（x）在R上单调递增；
（4）若f（1）=2，当x∈[-1，1]时，f（4^x）≤$\frac{f（c）}{4f（-{2}^{x+1}）}$恒成立，求实数c的取值范围．

分析由题意可得|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，再利用两个向量的数量积的定义可得（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|•|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|•cos120°，解方程求得k值

解答解：由题意可得|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1×1×cos60°=$\frac{1}{2}$，
|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（2•\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{{4\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{+\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{3}$，|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{{k\overrightarrow{a}}^{2}+2k\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{+\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}+k+1}$．
∵（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|•|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|•cos120°，
∴2k${\overrightarrow{a}}^{2}$+（2-k）•$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=$\sqrt{3}$•$\sqrt{{k}^{2}+k+1}$•（-$\frac{1}{2}$），
即2k+$\frac{2-k}{2}$-1=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\sqrt{{k}^{2}+k+1}$，即4k-k=-$\sqrt{3}$•$\sqrt{{k}^{2}+k+1}$，即2k²-k-1=0，
求得k=1，或k=-$\frac{1}{2}$．
经过检验，k=1时，4k-k=-$\sqrt{3}$•$\sqrt{{k}^{2}+k+1}$ 不成立，
故答案为：-$\frac{1}{2}$．

点评本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，属于中档题．

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