名校之约—2023河南省中招考试仿真试卷(A)数学

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名校之约—2023河南省中招考试仿真试卷(A)数学试卷答案

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2.软骨细胞是高度分化的呈圆形的细胞,能特异性地表达SOX9基因。科研人员用脂肪间质干细胞(ADSCs)和软骨细胞进行共培养实验,观察并检测ADSCs能否向软骨细胞定向分化,结果如表所示。下列说法错误的是A.细胞分化过程中,蛋白质的种类和数量会发生变化B.共培养能诱导ADSCs向软骨细胞发生定向分化C.共培养时,ADSCs中SOX9基因的表达处于抑制状态D.该研究有望弥补软骨细胞来源少、增殖有限的不足

分析（1）求导f′（x）=1+1nx，从而由导数的正负确定函数的单调性；
（2）构造函数F（x）=f（x）-g（x）=x•1nx-ax²+2ax-1，从而求导F′（x）=1+lnx-2ax+2a，F″（x）=$\frac{1}{x}$-2a，从而确定函数的最小值即可．

解答解：（1）∵f（x）=x•1nx，f′（x）=1+1nx，
故当x∈（0，$\frac{1}{e}$）时，f′（x）＜0；
当x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）时，f′（x）＞0；
故f（x）的单调减区间为（0，$\frac{1}{e}$），
单调增区间为（$\frac{1}{e}$，+∞）；
（2）证明：令F（x）=f（x）-g（x）=x•1nx-ax²+2ax-1，
故F′（x）=1+lnx-2ax+2a，F″（x）=$\frac{1}{x}$-2a，
∵x∈[1，2]，a∈[1，2]，
∴F″（x）=$\frac{1}{x}$-2a＜0，
∴F′（x）在[1，2]上是减函数，
又∵F′（1）=1+0=1＞0，F′（2）=1+ln2-4a+2a=1+ln2-2a＜0，
∴F（x）在[1，2]上先增后减，
故F（x）的最小值在x=1或x=2上取得，
而F（1）=1ln1-a+2a-1=a-1≥0，（a∈[1，2]）；
F（2）=2ln2-4a+4a-1=2ln2-1=ln4-1＞0，
故F（x）≥0恒成立，即f（x）≥g（x）．

点评本题考查了导数的综合应用及恒成立问题与函数思想的应用．构造函数F（x）=f（x）-g（x）是关键．

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