河南省祥符区2024-2023学年度七年级第二学期质量检测数学

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河南省祥符区2024-2023学年度七年级第二学期质量检测数学试卷答案

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(2)下图曲线I为研究该豚草入侵某地区调查过程中绘制的“种群增长”坐标曲线。调查某区域中该豚草的种群密度常采用五点法。为了控制该豚草的增长速度,科研人员引人了替代植物紫穗槐,若下图曲线Ⅱ表示替代控制示范区内的该豚草种群数量增长曲线则种群增长速率最高时对应的时间点是a-b从时间段d-e可以看出,紫穗槐以一定程度影响该豚草生长。曲线I曲线ⅡKabbcdef时间A

分析（Ⅰ）由cos²φ+sin²φ=1能先求出圆C的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出圆C的极坐标方程．
（Ⅱ）曲线$θ=\frac{π}{4}$的直角坐标方程为y=x，x≥0，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}=5}\end{array}\right.$，求出曲线θ=$\frac{π}{4}$与圆C的交点的直角坐标，由此能求出所求交点的极坐标．

解答（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）∵圆C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{5}cosφ}\\{y=\sqrt{5}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），
∴圆C的普通方程是（x-1）²+y²=5，…（2分）
又x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴圆C的极坐标方程是ρ²-2ρcosθ=4．…（5分）
（Ⅱ）∵曲线$θ=\frac{π}{4}$的直角坐标方程为y=x，x≥0，…（7分）
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴曲线θ=$\frac{π}{4}$与圆C的交点的直角坐标为（2，2），…（9分）
∴$ρ=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，$θ=\frac{π}{4}$，
∴曲线θ=$\frac{π}{4}$与圆C的交点的极坐标所以所求交点的极坐标为（2$\sqrt{2}，\frac{π}{4}$）． …（10分）

点评本题考查圆的极坐标方程的求法，考查两曲线交点的极坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意参数方程、普通方程、极坐标方程的互化公式的合理运用．

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