苏州市2024-2023学年第二学期高二年级学业质量阳光指标调研卷(2023.06)数学

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苏州市2024-2023学年第二学期高二年级学业质量阳光指标调研卷(2023.06)数学试卷答案

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14．已知数列{a_n}满足${a_{n+1}}=\frac{4}{{4-{a_n}}}（n∈{N^*}），{a_1}=0$，记数列{a_n}的前n项和为S_n，c_n=S_n-2n+2ln（n+1）
（1）令${b_n}=\frac{2}{{2-{a_n}}}$，证明：对任意正整数n，|sin（b_nθ）|≤b_n|sinθ|
（2）证明数列{c_n}是递减数列．

分析把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线l方程，由题意知直线l经过圆C₁的圆心，得a²+2a+2b+5=0，可得b≤-2，由圆C₂的方程可得半径为$\sqrt{1+{b}^{2}}$≥$\sqrt{5}$，由此求得此时圆C₂的方程．

解答解：把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线l方程为2（a+1）x+2（b+1）y-a²-1=0，
由题意知直线l经过圆C₁的圆心（-1，-1），因而a²+2a+2b+5=0．
所以2b+4=-（a+1）²≤0，
所以b≤-2，
圆C₂：（x-a）²+（y-b）²=1+b²，其半径为$\sqrt{1+{b}^{2}}$．
因而$\sqrt{1+{b}^{2}}$，
此时圆C₂：（x+1）²+（y+2）²=5．
故答案为：（x+1）²+（y+2）²=5．

点评本题主要考查两圆的位置关系及其判定，求圆的标准方程，属于中档题．

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