安康市2024~2023年度高二年级期末考试试卷(23-479B)数学

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安康市2024~2023年度高二年级期末考试试卷(23-479B)数学试卷答案

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13.古诗“稻熟江村蟹正肥,双如戟挺青泥。若教纸上翻身看,应见团团董卓脐。”描绘了一种养蟹的高效立体生态农业模式,稻田杂草稻株老叶、田螺、底栖动物等能为螃蟹提供部料资源,螃蟹的残饵、粪便又可增加壤中布机质含量,为稻株提供营养。与传统的水稻单作模式相比,下列分析错误的是一A.设计稻蟹农田生态系统需考虑水稻与螃蟹的种养比例.水稻为螃蟹提供食物和栖息场所,两者为互利共生关系C.输入稻蟹农田生态系统的能量既有太阳能又有化学能D.养蟹调整了稻田生态系统的营养结构,提高了能量利用率

分析（1）令sinα+cosα=t换元，得到sinα•cosα，代入已知等式求得t，则sinα+cosα的值可求；
（2）展开立方和公式，则sin³α+cos³α的值可求．

解答解：（1）令sinα+cosα=t（$-\sqrt{2}≤t≤\sqrt{2}$），
两边平方得，1+2sinαcosα=t²，
∴4sinαcosα=2t²-2，
代入4sinαcosα-5sinα-5cosα=1，得
2t²-2-5t=1，即2t²-5t-3=0．
解得：t=3（舍），或t=-$\frac{1}{2}$，即sinα+cosα=$-\frac{1}{2}$；
（2）由（1）得，sinαcosα=$\frac{1}{2}（{t}^{2}-1）$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{4}-1）=\frac{1}{8}-\frac{1}{2}=-\frac{3}{8}$．
∴sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）
=（sinα+cosα）[（sinα+cosα）²-3sinαcosα]
=$-\frac{1}{2}$×$[（-\frac{1}{2}）^{2}-3×（-\frac{3}{8}）]$=$-\frac{11}{16}$．

点评本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，体现了方程思想和换元思想，是中档题．

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