甘肃省2024-2023高二期末考试(23-526B)数学

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甘肃省2024-2023高二期末考试(23-526B)数学试卷答案

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10.(11分)普氏原羚是我国特有的濒危动物,现仅分布于我国青海湖周边地区的草原上,1994年,我国普氏原羚的数量不足300只,近些年来,由于采取了一系列保护措施,普氏原羚数量持续增加。据报道,2018年其数量已达2793只,但它们面临的威胁依然存在。在牧场围栏附2793近常可见到普氏原羚的尸骨,有的是狼捕食后的残酸,有的是被围栏上的刺丝勾挂致死。由于道路和牧场围栏阻隔,普氏原羚被隔离在13个分布区内,请回答下列问题:(1)普氏原羚被隔离在13个分布区内,每个分布区的所有普氏原羚可被称为一个科研人员为了制定相关保护措施,需获取普氏原羚的准确数量,而由于普氏原羚数量少,个体较大,易于识别,因此科研人员采用的方法调查其数量,(2)普氏原羚是植食性动物,在食物链中处于第营养级,其同化的能量主要通过以热能的形式散失。(3)普氏原羚能够通过嗅闻狼的气味来躲避猎捕,狼也能够根据耳朵听到的声音作出反应来追捕普氏原羚此现象体现了生态系统的信息传递的作用是:t。

分析（1）求出f（x）的导数，再求g（x）的导数，讨论a≤0，a＞0，判断导数的符号，即可得到所求单调区间；
（2）由（1）的单调区间，可得最小值，进而解得a=1；
（3）当x≥0时，f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-x-1≥f（0）=0，结合x-sinx的大小，运用不等式的性质，即可得证．

解答解：（1）f（x）=e^x-$\frac{a}{2}$x²-x-1的导数为f′（x）=e^x-ax-1，
g′（x）=e^x-a，
当a≤0时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当a＞0时，x＞lna时，g′（x）＞0，g（x）递增；
x＜lna时，g′（x）＜0，g（x）递减．
即有a≤0时，g（x）的增区间为R；
a＞0时，g（x）的增区间为（lna，+∞），减区间为（-∞，lna）；
（2）当a≤0时，g（x）递增，无最小值；
当a＞0时，g（x）在x=lna处取得极小值，也为最小值，
即有g（lna）=a-alna-1，
令h（a）=a-alna-1，h′（a）=1-（1+lna）=-lna，
0＜a＜1时，h（a）递增；a＞1时，h（a）递减．
即有h（a）≤h（1）=0，
由g（x）的最小值为0，即有a=1；
（3）证明：当x≥0时，f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-x-1≥f（0）=0，
即有e^x-x-1≥$\frac{1}{2}$x²，
e^x-1-x-$\frac{1}{2}$xsinx≥$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$xsinx=$\frac{1}{2}$x（x-sinx），
令p（x）=x-sinx，x≥0，p′（x）=1+cosx≥0，p（x）在x≥0递增，
即有p（x）≥p（0）=0，即x≥sinx，
则e^x-1-x-$\frac{1}{2}$xsinx≥0，
故当x≥0时，e^x-x-1≥$\frac{1}{2}$xsinx．

点评本题考查导数的运用：求单调区间和极值和最值，考查分类讨论的思想方法和不等式的证明，注意运用构造函数的思想方法，属于中档题．

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