2023年黑龙江哈尔滨市2021级高二下学期学业质量检测数学

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2023年黑龙江哈尔滨市2021级高二下学期学业质量检测数学试卷答案

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11.宋代诗人杨万里的《宿新市徐公店》中“篱落疏疏一径深,树头新绿未成阴。儿童急走追黄蝶飞入菜花无处寻”,描绘了人与大自然和谐相处的场景。下列相关叙述错误的是A.诗句中植物的生长、发育全过程受光影响、调控B.调查黄蝶的种群密度时,若标记个体容易死亡,则统计结果偏大C.“树头新绿”为植食性动物提供了可以开始采食的物理信息D.自然美景激发了诗人创作体现了生物多样性的间接价值

分析把已知等式两边平方得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{4}（λ+\frac{1}{λ}）$，利用不等式求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的最小值，代入数量积求夹角公式得答案．

解答解：由|λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$|（λ＞0），得
$（λ\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}=3（\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}）^{2}$，
即${λ}^{2}|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}$=$3|\overrightarrow{a}{|}^{2}-6λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+3{λ}^{2}|\overrightarrow{b}{|}^{2}$．
∵$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$，
∴${λ}^{2}+2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+1=3-6λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+3{λ}^{2}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{4}（λ+\frac{1}{λ}）$$≥\frac{1}{4}•2\sqrt{λ•\frac{1}{λ}}=\frac{1}{2}$．
当且仅当λ=1时上式等号成立．
∴cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{2}$．
则当$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$最小时$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°．

点评本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积运算的坐标表示，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．

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