湖南省2023年上学期高二期末数学

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湖南省2023年上学期高二期末数学试卷答案

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17．已知sinα和cosα是关于x的方程x²-2xsinα+sin²β=0的两个根，求证：2cos2α=cos2β．

分析（Ⅰ）设心为（x₀，5-3x₀），则${r^2}={x_0}^2+{（5-3{x_0}）^2}={（{x_0}-3）^2}+{（5-3{x_0}+1）^2}$，可得圆心和半径，从而求得圆的方程．
（Ⅱ）分类讨论，设出直线的方程，求出圆心到直线l的距离，利用勾股定理建立方程，即可求直线l的方程．

解答解：（I）设圆心为（x₀，5-3x₀），则${r^2}={x_0}^2+{（5-3{x_0}）^2}={（{x_0}-3）^2}+{（5-3{x_0}+1）^2}$
解得${x_0}=\frac{5}{3}，r=\frac{5}{3}$，所以圆的方程：${（x-\frac{5}{3}）^2}+{y^2}=\frac{25}{9}$—————–（3分）
（II）当直线l垂直于x轴时，方程为x=1，交点为$（1，\frac{{\sqrt{21}}}{3}），（1，-\frac{{\sqrt{21}}}{3}）$，弦长为$\frac{{2\sqrt{21}}}{3}$
符合题意—————–（4分）
当直线l不垂直于x轴时，设方程为y-1=k（x-1），
由弦心距三角形得$\frac{{|\frac{5}{3}k+1-k|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{{{（\frac{5}{3}）}^2}-{{（\frac{{\sqrt{21}}}{3}）}^2}}$———-（6分）
解得$k=-\frac{5}{12}$，———-（7分）
所以方程为5x+12y-17=0，综上l的方程为x=1或5x+12y-17=0———-（8分）

点评本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，确定圆心坐标与半径是关键．

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