高中数学必修一《指数型与对数型函数综合问题》微专题讲义

高中数学必修一《指数型与对数型函数综合问题》微专题讲义

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1、微专题5：指数型与对数型函数综合问题1.常见的几类指数型函数模型： 假设且.(1). (2).(3). (4).(5).(6).2.常见的几类对数型函数模型：假设且.(1)(2)都是奇函数.(3)是奇函数.(4)(且)是偶函数.二典型例题分析例1已知奇函数，.（1）求实数的值；（2）判断在上的单调性并进行证明；（3）若函数满足，求实数m的取值范围.解析：（1）函数是定义在上的奇函数，即，可得.，则，符合题设.（2）证明：由（1）可知，.任取，则 ，即在上单调递增.（3）为奇函数，又在上是奇函数，可化为，又由（2）知在上单调递增，解得.例2已知定义域为的函数是奇函数.（1）求实数的取值范围；（2

2、）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.分析：首先确定函数的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式转化为关于的一元二次不等式，然后参变量分离为：即在恒成立，设，最后求的最小值即可求出的取值范围.解：（1）因为函数是奇函数，所以有，即，解得，从而有.又由知，得.当，则，则，所以，即，所以为奇函数. 所以，.（2）由，由上式易知，函数在是单调递减函数，又函数是奇函数，从而不等式等价于，再由函数的单调性知，上述不等式等价于，即对一切，不等式总成立，即在恒成立.考察函数，是增函数，所以，所以满足题意的实数的取值范围是.例3.设，函数（1）已知，求证：函数为定义域上的奇函数；（2）已知（i）判断并证明

3、函数的单调性；（ii）函数在区间上的值域是，求的取值范围分析与解：（1）证明见解析；（2）（i）函数为上的单调增函数，证明见解析；（ii）.分析：先由，求得函数的定义域为（i）再利用函数单调性的定义证明； （ii）根据（i）知，函数为上的单调增函数，结合函数在区间上的值域是，得到，进而转化为关于的方程有两个互异实根求解解：（1）证明：因为，所以，由得函数的定义域为，又所以函数为定义域上的奇函数（2）当时，因为，所以，所以函数的定义域为（i）结论：函数为上的单调增函数证明：设对任意的，且，因为，所以即因为，所以，又，所以，即，所以函数为上的单调增函数（ii）因为，所以，从而又由知，所以，因为，由

4、（i）知，函数为上的单调增函数因为函数在区间上的值域是，所以，即从而关于的方程有两个互异实根令，所以方程有两个互异正根所以，解得.例4.已知函数，其中为常数.（1）当时，求函数的值域；（2）若对，恒成立，求实数的取值范围.分析：（1）令，易知，于是等价转化为求函数在R上的值域，再根据二次函数的性质计算可得；（2）设，故等价于，恒成立，即等价于对恒成立，令，利用函数的性质及基本不等式求出、，即可得解.解.（1）当时，令，易知，于是等价转化为求函数在R上的值域.因为，所以的值域为.（2）对，恒成立，即，恒成立，设，因为，所以.故等价于，恒成立，即等价于对恒成立，令，易知在上单调递增，所以.令，由基

5、本不等式可知，当且仅当时取等号，所以.所以，即实数a的取值范围是.本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，总有成立，故；（2）若，有成立，故；（3）若，有成立，故；（4）若，有，则的值域是值域的子集 例5已知函数是偶函数.(1).并求实数的值；(2).若方程有实数根，求的取值范围；(3).设，若函数与的图象有且仅有一个公共点，求实数的取值范围.分析（1）利用偶函数定义，由可以求出；（2）利用数形结合将方程有实数根转化为两个函数图像有交点，注意分离参数的技巧。（3）将函数图像有且仅有一个公共点，转化为方程只有一个正根，再用换元法转化为一元二次方程的根的分布问题。 解：（1）为偶函数，对任意，有， 对恒成立。对恒成立，对恒成立，（2）由题意知有实数根，即：有解。令，则函数的图像与直线有交点。，的取值范围是。（3）由（1）知，由题意知有且只有一个实数根。令，则关于的方程有且只有一个正根。若，则，不合题意，舍去；若，则方程的两根异号或方程有两相等正根。方程有两相等正根等价于，解得。方程的两根异号等价于，解得。综上所述，实数的取值范围是。

10.1877年在奏请开办开平矿务局时说:“勘得州所属距开平西南十八里之唐山,山南旧煤穴甚多……从此中国兵船轮船及机器制造各局用煤,不致远购于外洋,一旦有事,庶不为敌人所把持,亦可免利源之外泄”。据此可知,该企业的A.契合了洋务运动以富求强的目标B.主要目的是抵制外来的经济侵略C.表明洋务运动重心转移到重工业D.说明政府放弃了传统的抑商政策