2024届衡中同卷2021-下学期高三年级三调考试（全国卷）数学

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已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率e= ，右顶点、上顶点分别为A，B，直线AB被圆O：x2+y2=1截得的弦长为
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点B且斜率为k的动直线l与椭圆C的另一个交点为M， =λ（ ），若点N在圆O上，求正实数λ的取值范围．

【答案】
（1）解：由 ，得 ，∴a=2b，

∴直线AB的方程为 ，即x+2y﹣2b=0，

圆心O（0，0）到直线AB的距离为d= ，∴ ，得b=1，

椭圆C的方程为

（2）解：设点M的坐标为（x0，y0）（y0≠0），则点N的坐标为（λx0，λ（y0+1）），

∴ ，得 ，

又 ，

∴ ，y0∈（﹣1，1），得 ，

∴正实数λ的取值范围是[ ）

【】（1）由题意离心率可得a=2b，设出AB所在直线方程，由圆心到直线的距离求得b，则椭圆方程可求；（2）设点M的坐标为（x0 ， y0）（y0≠0），由已知向量等式得点N的坐标为（λx0 ， λ（y0+1）），结合N在圆上，M在椭圆上，分离参数λ求解．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用椭圆的标准方程的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．

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