智慧上进 江西省2024届新高三第一次大联考数学

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智慧上进 江西省2024届新高三第一次大联考数学试卷答案

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2．正项数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}$=1（n∈N^*），则前2015项的和S₂₀₁₅=（　　）

分析（1）运用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义，运用作差法证明函数的单调性．

解答解：（1）因为f（x）=f（x）=x+$\frac{1}{x}$，
所以，该函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
且f（-x）=（-x）+$\frac{1}{-x}$=-（x+$\frac{1}{x}$），
所以，f（-x）=-f（x），
即f（x）为奇函数；
（2）任取x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）+（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（x₂-x₁）•$\frac{1-{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
因为x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，所以，x₁x₂∈（0，1），
所以，f（x₁）-f（x₂）＞0恒成立，
即f（x）在（0，1）上单调递减．

点评本题主要考查了函数奇偶性和单调性的判断和证明，应用了单调性和奇偶性的定义及作差法，属于基础题．

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