萍乡市2021-2024学年度高三二模考试数学部分

已知函数.

（1）解关于的不等式；

（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.

(1) 当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为;(2) 的取值范围是.

【解析】分析：（1）对m分类讨论，利用一元二次不等式的解法解不等式.(2)对m 分类讨论，求的最大值，再令的最大值小于等于4m，即得m的取值范围.

详解：（1）由题意，得

即

①当时，得，解得；

②当时，得，

∵，

∴解得或；

③当时，得，

∵.

当时，，解得；

当时，，，解集为空集；

当时，，解得；

综上所述：当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为.

（2）的图像是一条开口向上的抛物线，关于对称.

由题意：.

①若，则在上是增函数，从而

在上的最小值是，最大值是.

由得于是有

解得，∴.

又∵，∴.

②若，此时.

则当时，不恒成立.

综上：使恒成立的的取值范围是.

已知是等差数列， 是等比数列，且 .

（1）数列和的通项公式；

（2）设，求数列前项和.

（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 运用等差数列和等比数列的通项公式，列出关于公差与公比的方程组，解方程可得公差和公比的值，从而可得数列和的通项公式；（2）由（1）知， ， ．因此，利用分组求和法，结合等比数列的求和公式与等差数列的求和公式，化简整理，即可得到数列前项和.

试题解析：(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为．

　因为，所以．解得．

又因为，所以．

所以， ， ．

（2）由（1）知， ， ．

因此

数列前项和为．

数列的前项和为．

所以，数列的前项和为， ．

【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项公式及等比数列的通项、等差等比数列的求和公式和利用“分组求和法”求数列前项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.