陕西西安2024届高三联考（22-02-358C）数学部分

已知数列，满足，数列前项和为.

（1）若数列是首项为正数，公比为的等比数列.

①求证：数列为等比数列；

②若对任意恒成立，求的值；

（2）已知为递增数列，即.若对任意，数列中都存在一项使得，求证：数列为等差数列.

(1) ①证明见解析；②.

(2)证明见解析.

【解析】分析：（1）①由题意得，又得，故可得结论成立．②由题意可得对任意恒成立，结合反证法可得．（2）根据可得，再根据数列的单调性可得，故得，从而可证得，所以数列为等差数列．

详解：（1）①∵数列是公比为的等比数列，

∴．

又为定值，

∴数列为等比数列．

②由题意得，即 ，

整理得对任意恒成立，

∵，

∴.

否则若，，则当时，，与题意矛盾.

故．

（2）因为数列中都存在一项使得，

即．

又数列为递增数列，

所以，

所以，

因此，

所以数列为等差数列．

(1)求证：BF⊥平面ACFD；

(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值．

（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）由面面垂直性质定理得AC⊥平面BCFE，因此BF⊥AC.再根据平几知识得BF⊥FC.最后根据线面垂直判定定理得结论（2）过点F作FQ⊥AK于Q，由三垂线定理得BQ⊥AK.即∠BQF是二面角B-AD-F的平面角．再根据解三角形得二面角B-AD-F的平面角的余弦值

试题解析：(1)证明　延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．

因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，

所以AC⊥平面BCFE，因此BF⊥AC.

又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK，且CK∩AC＝C，CK，AC都在平面ACFD内，

所以BF⊥平面ACFD.

(2)过点F作FQ⊥AK于Q，连接BQ.

因为BF⊥平面ACFD，AK在平面ACFD内，所以BF⊥AK，

则AK⊥平面BQF，BQ在平面BQF内，所以BQ⊥AK.

所以∠BQF是二面角B-AD-F的平面角．

在Rt△ACK中，AC＝3，CK＝2，得FQ＝.

在Rt△BQF中，FQ＝，BF＝，得cos∠BQF＝.

所以，二面角B-AD-F的平面角的余弦值为.