许昌济源平顶山2021-2024学年高三第三次质量检测数学试题

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一个圆柱形圆木的底面半径为1 m，长为10 m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分．现要把其中一部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．

（1）求V关于θ的函数表达式；

（2）求的值，使体积V最大；

（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．

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（1）， （2）（3）是

【解析】（1），.

则，.

（2）．

令，得，或（舍）．∵，∴．

当时，，，为增函数；

当时，，，为减函数．

∴当时，体积V最大．

（3）是，理由如下：

木梁的侧面积，．

，．

设，，则，

∴当，即时，最大．又由（2）知时，取得最大值，所以时，木梁的表面积S最大．

综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大．

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