安徽省无为市赫店中心学校2023-2024学年八年级上学期第一次周测数学

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安徽省无为市赫店中心学校2023-2024学年八年级上学期第一次周测数学试卷答案

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16．已知函数f（x）=$\frac{4}{3}$•$\frac{|x-1|}{{x}^{2}+3}$，g（x）=asin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{3}{2}$π）-2a+2（a＞0），给出下列结论：
①函数f（x）的值域为[0，$\frac{2}{3}$]；
②函数g（x）在[0，1]上是增函数；
③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在区间[0，1]内恒有解；
④若?x₁∈R，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是：$\frac{4}{9}$≤a≤$\frac{4}{5}$．
其中所有正确结论的序号为①②④．

分析利用三角恒等变换化简函数f（x），根据三角函数的单调性求出函数f（x）的递增区间，
再根据三角函数的图象与性质求出f（x）在x∈[0，$\frac{7π}{24}$]的值域．

解答解：函数f（x）=$\sqrt{2}$（sinx+cosx）•cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\sqrt{2}$（sinxcosx+cos²x）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\sqrt{2}$（$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$…（1分）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x
=sin（2x+$\frac{π}{4}$）；…（2分）
（1）当-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z时，函数f（x）单调递增，…（4分）
∴-$\frac{3π}{4}$+2kπ≤2x≤$\frac{π}{4}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的递增区间为[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]，k∈Z；…（6分）
（2）当x∈[0，$\frac{7π}{24}$]时，2x∈[0，$\frac{7π}{12}$]，
2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{6}$]，
sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]；…（8分）
∴f（x）∈[$\frac{1}{2}$，1]，…（10分）
即函数f（x）的值域为[$\frac{1}{2}$，1]．   …（12分）

点评本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是基础题目．

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