宜昌市、荆门市、荆州市、恩施州2024届高三起点考试数学

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宜昌市、荆门市、荆州市、恩施州2024届高三起点考试数学试卷答案

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6.如图甲所示是法拉第制作的世界上最早的发电机的实验装置。有一个可绕固定转轴转动的铜盘,铜盘的一部分处在蹄形磁体中,实验时用导线连接铜盘的中心C。用导线通过滑片与铜盘的边线D连接且按触良好,如图乙所示,若用外力转动手柄使铜盘转动起来,在CD两端会产生感应电动势,下列说法正确的是A.如图甲所示,产生感应电动势的原因是铜盘盘面上无数个以C为圆心的同心铜盘中的磁通量发生了变化B.如图甲所示,因为铜盘转动过程中穿过铜盘的磁通量不变,所以没有感应电动势C.如图乙所示,用外力顺时针(从左边看)转动铜盘,电路中会产生感应电流,通过R的电流自上而下D.如果圆盘的半径为,匀速转动的周期为T,圆盘处在一个磁感应强度为B的匀强磁场之中,则发电机产生感应电动势为E=Br^2T

分析所证明的不等式的左侧是n-1项，因此是对数表达式，联想对数运算法则：ln$\frac{M}{N}$=lnM-lnN，引入辅助函数f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，由导数证明其在[1，+∞）上为增函数，得到f（ $\frac{n}{n-1}$）＞0，即：$\frac{1}{n}$＜ln$\frac{n}{n-1}$，则数列不等式得证．

解答证明：令f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，则f′（x）=$\frac{-x-1+x}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
当x≥1时，f′（x）≥0，∴f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴n≥2时：f（$\frac{n}{n-1}$）=$\frac{1-\frac{n}{n-1}}{\frac{n}{n-1}}$+ln$\frac{n}{n-1}$=ln$\frac{n}{n-1}$-$\frac{1}{n}$＞f（1）=0，
即：$\frac{1}{n}$＜ln$\frac{n}{n-1}$，
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$＜lnn．

点评本题考查了数列的求和，考查了利用构造函数法证明数列不等式，关键是构造出增函数f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，是难题．

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