2024届快乐考生双考信息卷·第七辑模拟(押题卷一)文科数学答案

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20.(1)证明：设P(xo,yo),当直线PA,PB均存在斜率时，不妨设过点P的切线方程为y一yo=k(x一xo),代入椭圆方程有：x2十3[kx十（一kxo)]2一3=0，化简得(1+3k2)x2+6k(y0-kx)x+3(0-kxo)2一3=0，由△=0，即有：36k2(yo-kx0)2-4(1+3k2)[3(y0-kx0)2-3]=0,化简得：(3-x6)k2十2x0yk十1一y%=0,而有：=3二兰又因为后+g=4,则1k=一1，则有PMLPN,即MN为圆0的直径，从而有N三点共线…4分当PA或PB不存在斜率时，由对称性，不妨设P(W3,1),则M(√W3,一1)，N(一√3,1)，M,O,N三点共线成立.综合可知，M,O,N三点共线6分(2)解：设点A(x1,y1),B(x2,y2).当直线PA的斜率存在时，设直线PA的方程为y一y1=k(x一x),由y=k1(x-）十消去y,得(1+3k2)x2十6k(y1-k1)x十3(y1-k.x1)2-3=0,×2+3y2-3=0由△=0，即有：36k2(y1-k.x1)2-4(1+3k2)[3(y1一k.1)2-3]=0.化简得：(3-x2)k2十2x1yk+1-y=0.解得1=一，3y1直线PA的方程为y一(-十，化简可得z十31)=3+，即号-yy=1.经验证，当直线PA的斜率不存在时，直线PA的方程为x=或x=一，也满足3十1y=1,同理，可得直线PB的方程为号十y=1,又因为P,)在直线PA,PB上，则有十M0=1,3十=1，2To可得直线AB的方程为g十为=1.8分由消去y得(2+4)x2-6.xx+9-9y=0,×2+3y2=3△1=36×6-4(2y十4)(9-9y%)=36(2y十y%)>0,.c1十x2=6×09-9y28十4012=2y+41AB-V1+–1+36x-4(2y%+4)(9-9y)2(2y+1)9iv(2y6+4)2y6+2-33又点O到直线AB的距离d=√x6十9%√4十8:.SAONB=2,2(2y6+1),33,W/28+16+2√4+82y6+2,3L=3、5.令V26+1=,则[13]，Soe牛3+至21当且仅当t=√3，即y=1时取“=”.从而△AOB的面积的最大值为受12分

12.C.f(k十2)=/3f(k+1)-f(k)(k∈N*)①，.f(k+3)=√3f(k+2)-f(k+1)=√3[√/3f(k+1)-f(k)]-f(k+1)=2f(k+1)-√3f(k),.f(k+4)=2f(k+2)-√3f(k+1)=2[√3f(k+1)-f(k)]-√3f(k+1)=√3f(k+1)-2f(k)②，由①②可得f(k+4)=f(k+2)-f(k),∴.f(k+6)=f(k+4)-f(k+2)=-f(k),∴.f(k+12)=-f(k+6)=f(k),所以函数的周期T=12,f(65)=f(12×5+5)=f(5).

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