昭阳二中2024年春季学期高二期末考试数学试题答案

昭阳二中2024年春季学期高二期末考试数学试题答案

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20．设n∈N且n≥15，A，B都是{1，2，3，…，n}真子集，A∩B=∅，且A∪B={1，2，3，…，n}．证明：A或者B中必有两个不同数的和是完全平方数．

分析利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答解：∵$d=-\frac{1}{3}，{a_7}=8$，
∴8=a₁+6×$（-\frac{1}{3}）$，
解得a₁=10．
∴a_n=10+（n-1）×（-$\frac{1}{3}$）=$-\frac{1}{3}$n+$\frac{31}{3}$，
S_n=10n-$\frac{1}{3}$×$\frac{n（n-1）}{2}$=-$\frac{1}{6}{n}^{2}$+$\frac{61}{6}$．
∴${a_n}=-\frac{1}{3}n+\frac{31}{3}$，${S_n}=-\frac{1}{6}{n^2}+\frac{61}{6}$．

点评本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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