辽宁省锦州市2021~2024学年度高一第二学期期末考试数学试题答案

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15．已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x²+y²=1，动点M到圆的切线长与|MQ|的比值分别为1或2时，分别求出点M的轨迹方程．

分析问题可以等价为：要证y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{a+b}{2}$对称，只需证y=f（x）图象上任意一点P关于直线x=$\frac{a+b}{2}$对称的点P′也在函数y=f（x）的图象上．

解答证明：设P（x₀，f（x））是y=f（x）上任一点，
点P关于直线x=$\frac{a+b}{2}$的对称点P′的坐标为（a+b-x₀，f（x₀）），
要证y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{a+b}{2}$对称，
只需证P’（a+b-x₀，f（x₀））也在函数y=f（x）的图象上，过程如下：
∵f（a+x）=f（b-x）对任意实数x都成立，
∴f（a+b-x₀）=f[a+（b-x₀）]=f[b-（b-x₀）]=f（x₀），
即f（a+b-x₀）=f（x₀），
所以，点P′（a+b-x₀，f（x₀））在函数y=f（x）的图象上，
故y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{a+b}{2}$对称．

点评本题主要考查了函数图象对称性的证明，采用了等价的方式，即等价为P的对称点P’也在函数图象上，属于中档题．

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