2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）一试+加试试卷（含答案解析）

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）一试+加试试卷（含答案解析）

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1、20242024年全国中学生数学奥林匹克竞赛年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛预赛)暨暨20242024年全国高中数学联合竞赛年全国高中数学联合竞赛一试试题一试试题(A A)一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共8 8小题，每小题小题，每小题8 8分，满分分，满分6464分分1.若实数m1满足98mloglog=2024，则32mloglog的值为.2.设无穷等比数列 an 的公比 q 满足 0 q 1.若 an 的各项和等于 an 各项的平方和，则 a2的取值范围是.3.设实数 a，b 满足：集合 A=x R|x2-10 x+a 0 与 B=x R|bx b3 的交集为 4,9，则 a+b

2、 的值为.4.在三棱锥 P-ABC 中，若 PA 底面 ABC，且棱 AB，BP，BC，CP 的长分别为 1,2,3,4，则该三棱锥的体积为.5.一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a,b若事件a+b=7发生的概率为17，则事件“a=b”发生的概率为.6.设 f(x)是定义域为R、最小正周期为 5的函数若函数 g(x)=f(2x)在区间 0,5上的零点个数为 25，则 g(x)在区间 1,4）上的零点个数为.7.设F1,F2为椭圆的焦点，在 上取一点P（异于长轴端点），记 O为PF1F2的外心，若PO F1F2=2PF1

3、 PF2，则的离心率的最小值为.8.若三个正整数a,b,c的位数之和为8，且组成a，b，c的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(a,b,c)为“幸运数组”，例如（9,8,202400）是一个幸运数组.满足10abc的幸运数组（a，b，c）的个数为.二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共3 3小题，满分小题，满分5656分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.（本题满分16分）在ABC中，已知cosC=sinA+cosA2=Bsin+cosB2,求cosC的值.10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线：x2-y2=1的右

4、顶点为A.将圆心在y轴上，且与的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P，圆心距为d，求dPA的所有可能的值.11.（本题满分20分）设复数z，w满足z+w=2，求S=z2-2w+w2-2z的最小可能值.120242024年全国中学生数学奥林匹克竞赛年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛预赛)暨暨20242024年全国高中数学联合竞赛年全国高中数学联合竞赛加试试题加试试题(A A卷卷)一一(本题满分本题满分4040分分)给定正整数r,求最大的实数C,使得存在一个公比为r的实数等比数列 ann1,满足 anC对所有正整数n成立.(x表示实数x到与它最近整数的距离.)二二(本题满分本

5、题满分4040分分)如图，在凸四边形 ABCD中，AC平分BAD,点 E,F分别在边BC,CD上，满足 EF|BD,分别延长FA,EA至点P,Q,使得过点A,B,P的圆1及过点A,D,Q的圆w2均与直线AC相切.证明：B,P,Q,D四点共 圆.(答题时储将图画在答卷纸上答题时储将图画在答卷纸上)三三(本题满分本题满分 5050分分)给定正整数n.在一个3n的方格表上，由一些方格构成的集合 S称为“连通的”,如果对S中任意两个不同的小方格A,B,存在整数l2及S中l个方格A=C1,C2,Cl=B,满足Ci与Ci+1有公共边(i=1,2,l-1).求具有下述性质的最大整数K:若将该方格表的每个小方

6、格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合 S,使得S中的黑格个数与白格个数之差的绝对值 不小于K.四四.(本题满分本题满分5050分分)设A,B为正整数，S是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：(1)对任意非负整数k,有AKS;(2)若正整数nS,则n的每个正约数均属于S;(3)若m,nS,且m,n互素，则mnS;(4)若nS,则An+BS.证明：与B互素的所有正整数均属于S.21 2024 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨暨 2024 年年全国高中数学联合竞赛全国高中数学联合竞赛 一试（一试（A 卷）参考答案及评分标准卷）参考答案及评分标准 说明：说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设填空题只设 8 分和分和 0 分两档；其他各分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评