2025-2026学年高一上数学期中复习讲义第二节：基本不等式的应用技巧(含答案)1

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1、1第二节基本不等式的应用技巧第二节基本不等式的应用技巧【方法技巧】【方法技巧】1基本不等式：abab2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时，等号成立(3)其中ab2叫做正数 a，b 的算术平均数，ab叫做正数 a，b 的几何平均数2利用基本不等式求最值(1)已知 x，y 都是正数，如果积 xy 等于定值 P，那么当 xy 时，和 xy 有最小值 2 P.(2)已知 x，y 都是正数，如果和 xy 等于定值 S，那么当 xy 时，积 xy 有最大值14S2.注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”常用结论几个重要的不等式(1)a2

2、b22ab(a，bR)(2)baab2(a，b 同号)(3)abab22(a，bR)(4)a2b22ab22(a，bR)以上不等式等号成立的条件均为 ab.1.应用基本不等式“四”勿忘勿忘“正”：“正”是指使用基本不等式的前提条件是各项均为正实数.勿忘“定”：“定”是指用基本不等式时，和或积为定值.勿忘“等”：“等”是利用基本不等式求最值时，应注意等号是否可以取到，即等号成立的条件.勿忘“同”：“同”是指多次使用基本不等式时，等号成立的条件应相同.2.在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用（北京）股份有限公司2【题

3、型归纳】【题型归纳】题型一：常见不等式大小比较题型二：基本不等式求积的最大值题型三：基本不等式求和的最小值题型四、二次与二次（或一次）的商式的最值题型五：基本不等式1的妙用题型六：条件等式求最值题型七：基本不等式恒成立问题题型八：基本不等式的综合应用题型九：基本不等式的实际应用题型十：基本不等式证明不等式题型一：常见不等式大小比较题型二：基本不等式求积的最大值题型三：基本不等式求和的最小值题型四、二次与二次（或一次）的商式的最值题型五：基本不等式1的妙用题型六：条件等式求最值题型七：基本不等式恒成立问题题型八：基本不等式的综合应用题型九：基本不等式的实际应用题型十：基本不等式证明不等式【题型探

4、究】【题型探究】题型一：常见不等式大小比较【例题型一：常见不等式大小比较【例 1】（2025北京高考真题）已知0,0ab，则（）A222ababB111ababCababD112abab【跟踪训练【跟踪训练 1】（24-25 高一上北京期末）若,a bR，且0ab，则下列不等式中，恒成立的是（）A2ababB222a bb aC222()2ababD112abab【跟踪训练【跟踪训练 2】（23-24 高一上上海期中）若实数a、b满足0ba，下列不等式中恒成立的是（）A222baabB222baabC222baabD222baab（北京）股份有限公司3题型二：基本不等式求积的最大值【例题型二：

5、基本不等式求积的最大值【例 2】（22-23 高一上吉林阶段练习）已知102x，则1 2xx的最大值为.【跟踪训练【跟踪训练 1】（23-24 高一上河北邢台期中）已知109x，则(19)xx的最大值为【跟踪训练【跟踪训练 2】（23-24 高一上河北石家庄阶段练习）已知0,0,235abab，则2231ab的最大值是.题型三：基本不等式求和的最小值【例题型三：基本不等式求和的最小值【例 3】（24-25 高一上河南商丘期末）若2x，则132xx的最大值为.【跟踪训练【跟踪训练1】（24-25高一上北京延庆期末）已知0 x，则21 2yxx 的最大值为，当且仅当x 时，等号成立.【跟踪训练【跟

6、踪训练 2】（25-26 高一上全国期中）已知正实数x、y满足144xyxy，则xy的最小值为题型四、二次与二次（或一次）的商式的最值【例题型四、二次与二次（或一次）的商式的最值【例 4】（20-21 高一下江西吉安期末）函数21()1xxf xx（1x）的最小值为（）A2 3B32 3C22 2D5（北京）股份有限公司4【跟踪训练【跟踪训练 1】（24-25 高一上广东江门期末）若0 x，则2231xxx的最小值是.【跟踪训练【跟踪训练 2】（23-24 高一上上海浦东新期中）已知实数0k，则3223333141422kkkk的最大值为题型五：基本不等式1的妙用【例题型五：基本不等式1的妙用【例 5】（20-21 高二上江苏宿迁阶段练习）已知1,0 xy 且满足21xy，则121xy的最小值为【跟踪训练【跟踪训练 1】（24-25 高一上湖北武汉期末）已知0,0,1xyxy，则411xy的最小值为.【跟踪训练【跟踪训练 2】（24-25 高一上上海金山期中）已知正实数a，b满足21ab，则262abaab的最小值为.题型六：条件等式求最值【例题型六：条件等式求最值【例 6】（24-2