2025北京四中高二（下）开学考数学试卷

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1、北京四中2024-2025学年度第二学期开学试卷高二数学(试卷满分150分 考试时间120分钟)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选 项中，选出符合题目要求的一项.)1.直线/:k+两，-4=0的倾斜角为(A)四(B)-6 32、双曲线=1的渐近线方程为4 93 2(A)y=-x(B)y=-x2 3(C)T(D)64 Q(C)y=-x(D)y=x9 43.若(3-x)”(eN)的展开式中所有二项式系数的和为32,则n=(A)i5(B)6(C)7(D)84.%=0”温“直线4-即+2a-l=0QeR)与圆2+/=i相切,，的(A)充分而不必要条件(B)必要而不

2、充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件5.某圆锥曲线C是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且 过4-2,1)和8(|,-乎)两点，则该曲线。的离心率为0)的顶点是坐标原点O,焦点为尸，4是抛物线 C上的一点，点)到彳轴的距离为20,过点/向抛物线。的准线作垂线，垂 足为6.若四边形48。尸为等腰梯形,则p的值为(A)1(B)0(C)2(D)2/2第1页共4页北京四中2024-2025学年度第二学期开学试卷9.如图，在正方体中，。是棱上的动点，下列说法中不正 确的是(A)存在点。，使得。4c(B)存在点0,使得G0JL4。(C)对于任意点0,三棱锥G-4。的体积为定

3、值(D)对于任意点。，4。都不是锐角三角形10.在正方体总。-4片。12中，动点尸在面怂cd及其边界上运动，且满足取，用=/,则动点尸的轨迹为 6(A)抛物线的一部分(B)椭圆的一部分(C)双曲线的一部分(D)以上都不对二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)11.在(2%+工)4的展开式中，常数项为.(用数字作答)X12.抛物线产=面的焦点为尸，点P在该抛物线上，且P的横坐标为4,则阀=-13,圆%2+、2-2%一20+a2=0截直线-2+1=所得弦长为2贝!)”=-14.已知两点月(-2,0),鸟(2,0).点尸(2cose,2sine)满足|尸耳|一|正月|=2，则/岑玛的面

4、积是.15.已知曲线C：x-2五+黄=0.给出下列四个结论：曲线C是轴对称图形；曲线C上恰好有4个整点(即横、纵坐标均是整数的点)；曲线C上存在一点P,使得尸到点(1,0)的距离小于1;曲线。所围成区域的面积大于4.其中，所有正确结论的序号为.第2页共4页北京四中2024-2025学年度第二学期开学试卷_三、解答题(本大题共6小题，共85分.)16.(本小题满分13分)如图，四边形4BCD为梯形，ABHCD,四边形3E尸为平行四边形.p E(I)求证：CE平面3L 尽 7(II)若平面3E尸，AFLAD,AF=AD=CD=1,/AB=2,求直线,犯与平面8CF所成角的正弦值./I /六弋/17

5、.(本小题满分13分)/zZyZ已知抛物线Cy2=2px经过点/(1,2).,(I)求P的值和抛物线C的准线方程；(II)经过点(4,0)的直线/与抛物线。交于M,N两点，。为坐标原点.求 NMW的大小.18.(本小题满分14分)如图，在四棱锥户一池8中，底面CD为正方形，平面R4Z_L平面ABCD,。为棱PD的中点，PA1AD,PA=AB=2.(I)求证：平面形CD；(II)求平面4C0与平面相Q)所成角的余弦值；(HI)求点尸到平面4c。的距离.B19.(本小题满分15分)已知椭圆C:0A=1(。6 0)的左焦点为6(T,0),且经过点(1,3).a 3分别 a b 2是椭圆C的左、右顶点

6、，点尸(天,%)在椭圆C上(与点力、5不重合)，过。(4,0)且与x轴垂直的直线交直线心于点G,交直线RP于点H.(I)求椭圆C的短轴长和离心率；(H)若线段GH的中点为D,求点P坐标.第3页共4页北京四中2024-2025学年度第二学期开学试卷20.(本小题满分 15 分)已知椭圆氏会+方=1(。小0)的左、右顶点分别为a，离心率为日,点7(0,1),/sn血的面积为2.(I)求椭圆E的方程；(II)过点7且斜率为4的直线交椭圆E于点C,。，线段8的垂直平分线交y 轴于点。，点。关于直线CD的对称点为尸.若四边形PC纱为正方形，求上的 值.21.(本小题满分15分)对于正整数集合=%,%,，吗GwN)N2).如果对于中的任意两个 元素x,y,都有|%-y|2,则称为“好集合”(I)试判断集合4=5,7,9,13和8=2,5,8,11是否为“好集合”,并说明理由；(H)若集合，珀以卜,18，证明：集合C不可能是“好集合”；(皿)若$=1,2,.-,2026,集合O是集合S的子集，并且集合O是“好集合”，求集合D所含元素个数的最大值.第4页共4页