广东省2024-2023学年2025届高一级第一学期"四校"联合学业质量监测(3188A)数学

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广东省2024-2023学年2025届高一级第一学期"四校"联合学业质量监测(3188A)数学试卷答案

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6．（1）已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{4}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cosx的图象在点A（x₀，f（x₀））处的切线斜率为$\frac{1}{2}$，求tanx₀的值．
（2）对于正整数n，设曲线y=xⁿ（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a_n，求数列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}的前n项和．

分析（1）先求出对称轴，在由题意设f（x）=a（x-2）²+1，再代入f（0）=5，即可求出．
（2）根据f（a）＜2，得到关于a的不等式，解得即可．

解答解：（1）由f（1）=f（3），可知f（x）的对称轴为x=$\frac{1+3}{2}$=2，f（x）_min=1，
可设f（x）=a（x-2）²+1，
∵f（0）=5，
∴a（0-2）²+1=5，
解得a=1，
∴f（x）=（x-2）²+1=x²-4x+5，
（2）满足f（a）＜2时，
则a²-4a+5＜2，
即a²-4a+3＜0，
即（a-1）（a-3）＜0，
解得1＜a＜3，
∴实数a的取值范围为（1，3）．

点评本题考查了二次函数的解析式的求法和不等式的解法，属于基础题．

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