安康市2023届高三年级第一次质量联考试卷(12月)数学

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安康市2023届高三年级第一次质量联考试卷(12月)数学试卷答案

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14．在正项数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=a_n+（$\frac{{a}_{n}}{n}$）²（n∈N^*）
（1）判断数列{a_n}的单调性，并证明你的结论；
（2）求证：对n∈N^*都有：$\frac{1}{3}$≤a_n＜1．

分析设出P的坐标，利用勾股定理列式化简，然后限制M、N、P三点共线这一条件得答案．

解答解：设P（x，y），
由题意可知，|PM|²+|PN|²=|MN|²，
即（x+2）²+（y-1）²+（x-2）²+（y-3）²=（-2-2）²+（1-3）²．
整理得：x²+（y-2）²=5．
∵M、N、P构成直角三角形的三个顶点，∴M、N、P不共线．
即x≠2y-4．
∴点P的轨迹方程是x²+（y-2）²=5（x≠2y-4）．
故选：C．

点评本题考查轨迹方程的求法，此题容易忽略三角形这个条件，是易错题．

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