2023年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷(六)6数学

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2023年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷(六)6数学试卷答案

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18．以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[-M，M]．例如，当φ₁（x）=x³，φ₂（x）=sinx时，φ₁（x）∈A，φ₂（x）∈B．现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”；
②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B
④若函数$f（x）=aln（{x+2}）+\frac{x}{{{x^2}+1}}（{x＞-2，a∈R}）$有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题为（　　）

分析将f（x）=x，和g（x）=a分别代入定义（x+T）=T f（x）验证，即可知函数f（x）∉M，g（x）∈M．

解答解：（1）∵函数f（x）=x，
∴对于非零常数T，f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx，
∵集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，使得对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，
而对任意x∈R，x+T=Tx，不能恒成立，
∴不满足上述性质，
∴f（x）=x∉M；
（2））∵函数g（x）=a，
∴对于非零常数T，g（x+T）=a，Tg（x）=Ta，
则存在非零常数T=1，使得对任意x∈R，有g（x+T）=Tg（x）成立，
∴g（x）=a∈M；
故选：B

点评本题主要考查抽象函数的应用，根据新定义进行推理即可，考查学生的理解和应用能力．

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