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名校之约 2023届高三分科模拟检测卷5数学试卷答案
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19.对定义在[0,1]上的函数f(x),如果同时满足以下三个条件:
①对任意x∈[0,1],总有f(x)≥0;
②f(1)=1;
③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.
则称函数f(x)为理想函数.
(1)判断g(x)=2x-1(x∈[0,1])是否为理想函数,并说明理由;
(2)若f(x)为理想函数,求f(x)的最小值和最大值;
(3)若f(x)为理想函数,假设存在x0∈[0,1]满足f[f(x0)]=x0,求证:f(x0)=x0.
分析根据已知分析函数的周期性,可判断①②;分析函数的奇偶性,可判断③;分析函数的对称性,可判断④.
解答解:①$f(x)=-\frac{1}{{f({x+1})}}$,
∴f(x+1)=-$\frac{1}{f(x+2)}$,
∴f(x)=f(x+2),则2为y=f(x)的一个周期,故正确;
②f(2x)=f(2x+1),
令t=2x,
∴f(t)=f(t+1),
∴f(x)=f(x+1),则1为y=f(x)的一个周期,故错误;
③y=f(x+1)为偶函数,
∴f(-x+1)=f(x+1),故正确;
④若函数y=f(x)满足:f(x+3)+f(1-x)=2,
令t=x+3,则x=t-3,1-x=4-t,
即f(t)+f(4-x)=2,
即函数y=f(x)的图象关于(2,1)点对称,
则函数y=f(x-1)的图象的对称中心为(0,0),故错误;
故正确的结论为:①③
故答案为:①③
点评本题考查的知识点是函数的周期性,函数的奇偶性,函数的对称性,是函数图象和性质的综合应用,难度中档.
名校之约 2023届高三分科模拟检测卷5数学
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