名校之约 2023届高三分科模拟检测卷5数学

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名校之约 2023届高三分科模拟检测卷5数学试卷答案

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19．对定义在[0，1]上的函数f（x），如果同时满足以下三个条件：
①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
则称函数f（x）为理想函数．
（1）判断g（x）=2^x-1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并说明理由；
（2）若f（x）为理想函数，求f（x）的最小值和最大值；
（3）若f（x）为理想函数，假设存在x₀∈[0，1]满足f[f（x₀）]=x₀，求证：f（x₀）=x₀．

分析根据已知分析函数的周期性，可判断①②；分析函数的奇偶性，可判断③；分析函数的对称性，可判断④．

解答解：①$f（x）=-\frac{1}{{f（{x+1}）}}$，
∴f（x+1）=-$\frac{1}{f（x+2）}$，
∴f（x）=f（x+2），则2为y=f（x）的一个周期，故正确；
②f（2x）=f（2x+1），
令t=2x，
∴f（t）=f（t+1），
∴f（x）=f（x+1），则1为y=f（x）的一个周期，故错误；
③y=f（x+1）为偶函数，
∴f（-x+1）=f（x+1），故正确；
④若函数y=f（x）满足：f（x+3）+f（1-x）=2，
令t=x+3，则x=t-3，1-x=4-t，
即f（t）+f（4-x）=2，
即函数y=f（x）的图象关于（2，1）点对称，
则函数y=f（x-1）的图象的对称中心为（0，0），故错误；
故正确的结论为：①③
故答案为：①③

点评本题考查的知识点是函数的周期性，函数的奇偶性，函数的对称性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．

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