衡水金卷 广东省2023届高三年级12月份大联考(新高考)数学

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衡水金卷 广东省2023届高三年级12月份大联考(新高考)数学试卷答案

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14．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其左、右焦点分别是F₁，F₂，过点F₁的直线l交椭圆C于E，G两点，且△EGF₂的周长为$4\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于不同两点A，B，且A，B两点都在y轴的右侧，设P为椭圆上一点，且满足$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=t\overrightarrow{OP}（O$为坐标原点），求实数t的取值范围．

分析p₁：利用平方关系可知正确；
p₂：取x=0，y=$\frac{π}{3}$，即可判断出正误．
p₃：利用倍角公式可得$\sqrt{\frac{1-cos2x}{2}}$=|sinx|；
p₄：由tanx=cosx，化为sinx=cos²x=1-sin²x，即sin²x+sinx-1=0，解出即可判断出正误．

解答解：p₁：?x∈R，利用平方关系可知：sin²$\frac{x}{2}$+cos²$\frac{x}{2}$=1，正确；
p₂：?x、y∈R，cos（x-y）=cosx-cosy，取x=0，y=$\frac{π}{3}$，可知正确．
p₃：?x∈[0，π]，sinx≥0，∴$\sqrt{\frac{1-cos2x}{2}}$=$\sqrt{si{n}^{2}x}$=|sinx|=sinx，因此正确；
p₄：假设：?x∈R，tanx=cosx，则sinx=cos²x=1-sin²x，化为sin²x+sinx-1=0，解得sinx=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$∈（0，1），因此x存在，因此假设正确．
综上可得：四个命题都正确．
故选：A．

点评本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数的化简、同角三角函数基本关系式、倍角公式等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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