2023届衡水金卷先享题调研卷 全国卷(六)6数学

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2023届衡水金卷先享题调研卷 全国卷(六)6数学试卷答案

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4．已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=2a_n-n+1（n∈N^*）．
（1）若b_n=a_n-n（n∈N^*），求证数列{b_n}成等比数列；
（2）设数列{a_n}的前n项之和为S_n，求S_n．

分析方法一：采用换元法，根据互为反函数图象的对称性解题；
方法二：通过观察得出函数的零点，即可得出结果．

解答解：方法一：令t=x-1，
方程①可变形为：3^t=1-t，t₁为该方程的根，
方程②可变形为：log₃t=1-t，t₂为该方程的根，
由于函数y=3^t与函数y=log₃t互为反函数，
所以它们的图象关于直线y=x轴对称，
故两图象与直线y=1-t的交点（t₁，y₁），（t₂，y₂）也关于y=x对称，
所以，t₁+t₂=1，
而x₁=t₁+1，x₂=t₂+1，所以，x₁+x₂=t₁+t₂+2=3，
方法二：观察题中方程，
x₁满足3^x-1=2-x，显然x₁=1是方程的根，
x₂满足log₃（x-1）+x-2=0，显然x₂=2是方程的根，
所以，x₁+x₂=3．
故选：D．

点评本题主要考查了函数的零点，指数，对数函数的图象和性质，运用了函数与方程，数形结合的解题思想，属于中档题．

2023届衡水金卷先享题调研卷 全国卷(六)6数学