2023届福建省普通高中学业水平合格性考试(五)5数学

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2023届福建省普通高中学业水平合格性考试(五)5数学试卷答案

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9．若椭圆$\frac{x^2}{k+8}+\frac{y^2}{9}=1$的离心率$e=\frac{1}{3}$，则k的值为0或$\frac{17}{8}$．

分析（1）由已知可得数列递推式${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，取倒数后构造等比数列{$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}$}，由等比数列的通项公式求得数列{a_n}的通项公式；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=$\frac{{3}^{n}}{2}$a_na_n+1，整理后利用裂项相消法求S_n，放缩得答案．

解答证明：（1）由已知${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，取倒数得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{3}{{a}_{n}}+1$，
变形得$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{2}=3（\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}）$．
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}$}是首项为$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，公比为3的等比数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}•{3}^{n-1}=\frac{1}{2}•{3}^{n}$，
∴${a}_{n}=\frac{2}{{3}^{n}-1}$；
（2）b_n=$\frac{{3}^{n}}{2}$a_na_n+1=$\frac{2•{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$．
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=$（\frac{1}{{3}^{1}-1}-\frac{1}{{3}^{2}-1}）+（\frac{1}{{3}^{2}-1}-\frac{1}{{3}^{3}-1}）+…+（\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}）$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}＜\frac{1}{2}$．

点评本题考查数列的函数特性，考查了数列递推式，考查等比关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．

2023届福建省普通高中学业水平合格性考试(五)5数学