神州智达 2024-2023高三省级联测考试 质检卷Ⅱ(三)数学

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神州智达 2024-2023高三省级联测考试 质检卷Ⅱ(三)数学试卷答案

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7．已知函数f（x）=a^x-1+log_ax在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为a，则实数a为（　　）

分析（1）由函数f（x）=$\frac{m}{（x-1）^{2}}$，且f（2）=1；可得$\frac{m}{（2-1）^{2}}$=1，解得m即可得出．
（2）由（1）可得f（x）=$\frac{1}{（x-1）^{2}}$．（x＜1）．?x₁＜x₂＜1，只要证明f（x₁）-f（x₂）＜0即可．

解答（1）解：∵函数f（x）=$\frac{m}{（x-1）^{2}}$，且f（2）=1；
∴$\frac{m}{（2-1）^{2}}$=1，解得m=1．
（2）证明：由（1）可得f（x）=$\frac{1}{（x-1）^{2}}$．（x＜1）．
?x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{（{x}_{1}-1）^{2}}$-$\frac{1}{（{x}_{2}-1）^{2}}$=$\frac{（{x}_{2}+{x}_{1}-2）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{[（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）]^{2}}$，
∵x₁＜x₂＜1，
∴x₁+x₂＜2，x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）在（-∞，1）上为增函数．

点评本题考查了函数的单调性、求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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