天一大联考 2024-2023学年(上)高二年级期末考试数学

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天一大联考 2024-2023学年(上)高二年级期末考试数学试卷答案

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5．给出下列四个命题：
（1）动点到两个定点的距离之和为定长，则动点的轨迹为椭圆；
（2）双曲线$\frac{{x}^{2}}{25}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1与椭圆$\frac{{x}^{2}}{35}$+y²=1有相同的焦点；
（3）点M与点F（0，-2）的距离比它到直线l：y-3=0的距离小1的轨迹方程是x²=-8y；
（4）方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的椭圆的左顶点为A，左、右焦点为F₁、F₂，D是它短轴的一个顶点．若2$\overrightarrow{D{F}_{1}}$-$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{D{F}_{2}}$，则该椭圆的离心率为$\frac{1}{3}$．
其中正确命题的序号（2），（3），（4）．

分析（1）利用二倍角的余弦函数公式可得cos²α=$\frac{1}{4}$，结合范围α∈（$\frac{π}{2}$，π）．即可得解．
（2）由余弦定理可得：8=ME²+MF²+ME×MF，①，利用基本不等式可得ME×MF≤$\frac{8}{3}$，利用平方和公式可求得：ME+MF≤$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，又EF+ME+MF＞2EF=4$\sqrt{2}$．从而可求△MEF的周长的取值范围．

解答解：（1）∵sin²α+cos2α=sin²α+cos²α-sin²α=cos²α=$\frac{1}{4}$，
∴可得：cosα=±$\frac{1}{2}$，
又∵α∈（$\frac{π}{2}$，π）．
∴解得cosα=-$\frac{1}{2}$，α=$\frac{2π}{3}$．
（2）∵在△MEF中，由余弦定理可得：EF²=ME²+MF²-2•ME•MF•cosα，即：8=ME²+MF²+ME×MF，①，
∴由①可得：8≥2ME×MF+ME×MF=3ME×MF，解得ME×MF≤$\frac{8}{3}$，
∴由①可得：（ME+MF）²=8+ME×MF≤8+$\frac{8}{3}$=$\frac{32}{3}$．解得：ME+MF≤$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∴△MEF的周长=EF+ME+MF=2$\sqrt{2}$+ME+MF≤2$\sqrt{2}$+$\frac{4\sqrt{6}}{3}$=$\frac{6\sqrt{2}+4\sqrt{6}}{3}$．
又，EF+ME+MF＞2EF=4$\sqrt{2}$．
△MEF的周长的取值范围：（4$\sqrt{2}$，$\frac{6\sqrt{2}+4\sqrt{6}}{3}$]．

点评本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，考查了余弦定理，基本不等式，平方和公式的应用，考查了计算能力，属于中档题．

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