金榜教育 2024~2023学年度第一学期高三年级期末联考(1月)数学

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金榜教育 2024~2023学年度第一学期高三年级期末联考(1月)数学试卷答案

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13．已知函数f（x）为一次函数，且单调递增，满足f[f（x）]=$\frac{1}{4}$x-$\frac{3}{4}$，若对于数列{a_n}满足：a₁=-1，a₂=2，a_n+1=4f（a_n）-a_n-1+4（n≥2）．
（Ⅰ）试求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{a}_{n}+2}{n}$×（$\frac{1}{2}$）^n-1，数列{b_n}的前n项的和为S_n求证：S_n＜4．

分析（1）由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，能求出圆C的直角坐标方程，由直线l过点P（1，1），且倾斜角α=$\frac{π}{3}$，能求出直线l的参数方程．
（2）求出直线的参数方程代入圆C方程x²+y²-4y=0，能求出|PA|•|PB|．

解答解：（1）∵ρ=4sinθ，
∴ρ²=4ρsinθ，则x²+y²-4y=0，…（3分）
即圆C的直角坐标方程为x²+y²-4y=0．…（4分）
（2）∵直线l过点P（1，1），且倾斜角α=$\frac{π}{3}$，
∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数）．…（6分）
将该方程代入圆C方程x²+y²-4y=0，
得${t}^{2}+（1-\sqrt{3}）t-2=0$，t₁t₂=-2．…（9分）
即|PA|•|PB|=|t₁t₂|=2．…（10分）

点评本题考查圆的直角坐标方程的求法，考查两线段乘积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的合理运用．

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