湖北省2024-2023学年度上学期高二武汉市重点中学4G+联合体期末考试数学

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湖北省2024-2023学年度上学期高二武汉市重点中学4G+联合体期末考试数学试卷答案

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4．若函数y=f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，则$\frac{f（x）+f（-x）}{2x}＜0$的解集为（　　）

分析先根据函数f（x）为R上的奇函数得f（0）=0，再得出函数是以4为周期的函数，由此可得f（1）=f（2）=f（3）=f（4）=0，共有9个零点．

解答解：因为f（x）是定义域为R的奇函数，
所以f（0）=0，即图象过原点，
所以有零点x=0，
又因为f（x+4）=f（x）+f（2），
令x=-2得，
f（2）=f（-2）+f（2），
所以，f（-2）=0，
而f（-2）=f（-2+4）=f（2）=0，
所以有零点x=±2，如右图，
且f（x+4）=f（x），函数是以4为周期的函数，
当x∈（0，2）时，f（x）=lnx，单调递增，有零点x=1，
所以，f（3）=f（-1）=-f（1）=0，f（4）=f（0）=0，
因此，当x∈（0，4]时，函数的零点依次为：1，2，3，4，
再根据对称性，函数共有零点9个．
故答案为：9．

点评本题主要考查了函数零点的判断，涉及分段函数的奇偶性，单调性，周期性及其图象，属于中档题．

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