[佛山一模]广东省2024~2023学年佛山市普通高中教学质量检测(一)1数学

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[佛山一模]广东省2024~2023学年佛山市普通高中教学质量检测(一)1数学试卷答案

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4．设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，$AB=AC=2，\;∠\;BAC=90°，\;A{A_1}=2\sqrt{2}$，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是16π．

分析（Ⅰ）由点A$（\sqrt{2}，π）$在直线$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=a$上，得a=-1，从而$ρcosθ+ρsinθ=-\sqrt{2}$，由此能求出直线L的直角坐标方程．
（Ⅱ）由已知得圆C直角坐标方程为x²+（y-2）²=1，求出圆心和半经，L的直角坐标方程为$x+y-\sqrt{2}a=0$，求出圆心C到直线L的距离，由此能求出a的值．

解答解：（Ⅰ）∵点A的极坐标为（$\sqrt{2}，π$），直线L的极坐标方程为$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=a$．
∵点A$（\sqrt{2}，π）$在直线$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=a$上，
∴$\sqrt{2}cos（π-\frac{π}{4}）=a$，解得a=-1，
∴$ρcos（θ-\frac{π}{4}）$=$ρcosθcos\frac{π}{4}+ρsinθsin\frac{π}{4}$=-1，
∴$ρcosθ+ρsinθ=-\sqrt{2}$，
∴直线L的直角坐标方程为x+y=$\sqrt{2}$=0．…（4分）
（Ⅱ）∵圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\y=2+sinα\end{array}\right.（α为参数）$，
∴由已知得圆C直角坐标方程为x²+（y-2）²=1，∴圆C的圆心为C（0，2），半经r=1，
而L的直角坐标方程为$x+y-\sqrt{2}a=0$，
依题意圆心C到直线L的距离$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$d=\frac{{|2-\sqrt{2}a|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
解得$a=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}，或a=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．（10分）

点评本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质和点到直线距离公式的合理运用．

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