山西阳泉市2024-2023学年度高三第一学期期末教学质量监测数学

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山西阳泉市2024-2023学年度高三第一学期期末教学质量监测数学试卷答案

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5．已知函数$f（x）={log_a}\frac{x-1}{x+1}$（其中a＞0且a≠1）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性；
（2）已知关于x的方程${log_a}\frac{m}{（x+1）（7-x）}=f（x）$在区间[2，6]上有实数解，求实数m的取值范围．

分析化切为弦，得到tan²α-$\frac{1}{ta{n}^{2}α}$=$\frac{si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}-\frac{co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α}$，再通分，利用同角三角函数关系式、二倍角公式能证明tan²α-$\frac{1}{ta{n}^{2}α}$=-$\frac{2sin4α}{si{n}^{3}2α}$．

解答证明：tan²α-$\frac{1}{ta{n}^{2}α}$=$\frac{si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}-\frac{co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α}$=$\frac{si{n}^{4}α-co{s}^{4}α}{si{n}^{2}αco{s}^{2}α}$=$\frac{si{n}^{2}α-co{s}^{2}α}{（\frac{1}{2}sin2α）^{2}}$=-$\frac{cos2α}{\frac{1}{4}si{n}^{2}2α}$=-$\frac{4cos2α}{si{n}^{2}2α}$
-$\frac{2sin4α}{si{n}^{3}2α}$=-$\frac{2×2sin2αcos2α}{si{n}^{3}2α}$=-$\frac{4soc2α}{si{n}^{2}2α}$=-$\frac{2sin4α}{si{n}^{3}2α}$．
∴tan²α-$\frac{1}{ta{n}^{2}α}$=-$\frac{2sin4α}{si{n}^{3}2α}$．

点评本题考查三角形恒等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意化切为弦、同角三角函数关系式、二倍角公式的合理运用．

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