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2024-2023学年成都七中2021级高二下期入学考试(2月)数学试卷答案
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1.三角形ABC中,sinA=$\frac{12}{13}$,cosB=$\frac{4}{5}$,则cosC=$\frac{56}{65}$或$\frac{16}{65}$.
分析设a=x,b=$\frac{1}{y}$,c=y+$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$都大于0.不妨设a≤b.可得$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{b}$-b≤c-a=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$-a≤$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{a}$-a.即$\frac{2-{b}^{2}}{b}$≤c-a≤$\frac{2-{a}^{2}}{a}$.对a与$\sqrt{2}$的大小分类讨论即可得出最大值.
解答解:设a=x,b=$\frac{1}{y}$,c=y+$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{a}$.都大于0.
不妨设a≤b.则$\frac{1}{a}$≥$\frac{1}{b}$.
则$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{b}$-b≤c-a=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$-a≤$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{a}$-a.
∴$\frac{2-{b}^{2}}{b}$≤c-a≤$\frac{2-{a}^{2}}{a}$,
①当a≥$\sqrt{2}$时,c≤a,此时c最小;
②当0<a<$\sqrt{2}$,c-a≥0,此时a最小,S≤$\sqrt{2}$.
综上可得:S的最大值为:$\sqrt{2}$.
故答案为:$\sqrt{2}$.
点评本题考查了不等式的性质、分类讨论的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
2024-2023学年成都七中2021级高二下期入学考试(2月)数学
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