鞍山市普通高中2024-2023学年度上学期高一质量监测数学

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鞍山市普通高中2024-2023学年度上学期高一质量监测数学试卷答案

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14．已知双曲线my²-x²=1（m∈R）与抛物线y=$\frac{1}{8}$x²有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x．

分析求出抛物线的焦点坐标，设出方程与抛物线联立，再根据抛物线的定义，即可求得结论．

解答解：抛物线y²=8x的焦点为F（2，0），
若直线l的斜率不存在，则|FA|=m=|PB|=n=4，
此时m•n=16，
若直线l的斜率存在，设l：y=kx-2k，与y²=8x联立，消去y可得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0
设A，B的横坐标分别为x₁，x₂，
则x₁+x₂=4+$\frac{8}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4
根据抛物线的定义可知|FA|=m=x₁+2，|PB|=n=x₂+2，
∴m•n=（x₁+2）（x₂+2）=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4=16+$\frac{8}{{k}^{2}}$＞16，
综上所述，m•n的取值范围为[16，+∞），
故选：D．

点评本题重点考查抛物线定义的运用，考查直线与抛物线的位置关系，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离是解题的关键．

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