临沂市普通高中学业水平等级考试模拟试题(2月)数学

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临沂市普通高中学业水平等级考试模拟试题(2月)数学试卷答案

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18．已知α∈（$\frac{π}{6}$，π），$\overrightarrow{a}$=（sin（2α+β），sinβ），$\overrightarrow{b}$=（3，1），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，设tanα=x，tanβ=y，记y=f（x），当f（x）=$\frac{1}{3}$时，α=$\frac{π}{4}$．

分析（1）对a与1的大小关系分类讨论即可解出．
（2）利用基本不等式的性质即可得出证明．

解答解； （1）当a＜1时，原不等式的解为a＜x＜1，解集为{x|a＜x＜1}，
当a=1时，原不等式无解，解集为∅．
当a＞1时，原不等式的解为1＜x＜a，解集为{x|1＜x＜a}．
所以综上所述：当a＜1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜1}；
当a=1时，原不等式解集为∅；
当a＞1时，原不等式的解集为{x|1＜x＜a}．
（2）证明：∵x＞0，y＞0，
∴（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）=2+$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$≥2+2$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{y}{x}}$=4，当且仅当x=y＞0时取等号．
∴（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）≥4．

点评本题考查了一元二次不等式的解法、基本不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．

临沂市普通高中学业水平等级考试模拟试题(2月)数学