安徽省2023届九年级第一学期期末质量监测数学

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安徽省2023届九年级第一学期期末质量监测数学试卷答案

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11．已知函数f（x）=lg（100^x+1）-ax，x∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）是偶函数，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下证明，函数f（x）在[0，+∞）上是单调函数．

分析①根据定义可求出f（2）=0，再逐步递推f（2^m）=f（2•2^m-1）=2f（2^m-1）=…=2^m-1f（2）=0；
②分区间分别讨论，得出在定义域内函数的值域；
③根据②的结论x∈（2^m，2^m+1），f（x）=2^m+1-x，求出f（2ⁿ+1）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-1=2ⁿ-1，再判断是否存在n值；
④由②的结论x∈（2^m，2^m+1），f（x）=2^m+1-x显然可得结论．

解答解：∵x∈（1，2]时，f（x）=2-x．
∴f（2）=0．f（1）=$\frac{1}{2}$f（2）=0．
∵f（2x）=2f（x），
∴f（2^kx）=2^kf（x）．
①f（2^m）=f（2•2^m-1）=2f（2^m-1）=…=2^m-1f（2）=0，故正确；
②设x∈（2，4]时，则$\frac{1}{2}$x∈（1，2]，∴f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=4-x≥0．
若x∈（4，8]时，则$\frac{1}{2}$x∈（2，4]，∴f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=8-x≥0．
…
一般地当x∈（2^m，2^m+1），
则$\frac{x}{{2}^{m}}$∈（1，2]，f（x）=2^m+1-x≥0，
从而f（x）∈[0，+∞），故正确；
③由②知当x∈（2^m，2^m+1），f（x）=2^m+1-x≥0，
∴f（2ⁿ+1）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-1=2ⁿ-1，假设存在n使f（2ⁿ+1）=9，
即2ⁿ-1=9，∴2ⁿ=10，
∵n∈Z，
∴2ⁿ=10不成立，故错误；
④由②知当x∈（2^k，2^k+1）时，f（x）=2^k+1-x单调递减，为减函数，
∴若（a，b）⊆（2^k，2^k+1）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”，故正确．
故答案为：①②④．

点评考查了分段函数和抽象函数的理解，要弄清题意．

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