2023届智慧上进名校学术联盟高考模拟信息卷押题卷（一）数学

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2023届智慧上进名校学术联盟高考模拟信息卷押题卷（一）数学试卷答案

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16．用“秦九韶算法”计算多项式f（x）=4x⁵-3x⁴+4x³-2x²-2x+3的值，当x=3时，V₃=91．

分析（1）利用正弦定理可求2b=3c，结合已知可得a=2c，b=$\frac{3c}{2}$，用余弦定理即可求值得解．
（2）如图所示，延长AO交外接圆于D．由于AD是⊙O的直径，可得∠ACD=∠ABD=90°，于是cos$∠CAD=\frac{AC}{AD}$，cos∠BAD=$\frac{AB}{AD}$．可得$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$²-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²，．再利用c²=2b-b²，化为$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$=（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$．由于c²=2b-b²＞0，解得0＜b＜2．令f（b）=（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$．利用二次函数的单调性即可得出．

解答解：（1）∵2sinB=3sinC，∴2b=3c．
又∵b-c=$\frac{1}{4}$a，∴a=2c，b=$\frac{3c}{2}$，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{4}$．
（2）∵O为△ABC三边中垂线的交点，
∴O为三角形外接圆的圆心．如图所示，延长AO交外接圆于D，连接BD、CD，
∵AD是圆O的直径，
∴∠ACD=∠ABD=90°，cos$∠CAD=\frac{AC}{AD}$，cos∠BAD=$\frac{AB}{AD}$．
∵c²=2b-b²，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$•（$\overrightarrow{AC}$-AB）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$²-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²
=$\frac{1}{2}$b²-${\frac{1}{2}}^{\;}$c²=$\frac{1}{2}$b²-$\frac{1}{2}$（2b-b²）
=b²-b=（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$．
∵c²=2b-b²＞0，
∴0＜b＜2，
设f（b）=（b-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，又f（0）=0，f（2）=2，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$的取值范围是：[-$\frac{1}{4}$，2]．

点评本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的外接圆的性质、向量的运算法则、数量积运算、二次函数的单调性等基础知识与基本方法，属于难题．

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