衡水金卷先享题信息卷2023新教材(二)数学

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衡水金卷先享题信息卷2023新教材(二)数学试卷答案

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11．已知：函数f（x）=5sinxcosx+5$\sqrt{3}$sin²x-$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$（x∈R）
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单递增区间；
（3）求f（x）图象的对称轴、对称中心．

分析先求函数f（x）的导数，然后令f′（x₀）=1，求出x₀的值后再求其正切值即可．

解答解：∵f（x）=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{4}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cosx
∴f′（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sinx=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$sin（x-$\frac{π}{6}$）
又因为f′（x₀）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$sin（x₀-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴sin（x₀-$\frac{π}{6}$）=0，x0=$\frac{π}{6}$+2kπ （k∈Z）；x₀=$2kπ+\frac{5π}{6}$，（k∈Z）．
∴tanx₀=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$±\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于在该点处切线的斜率．

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