［南昌一模］2023届江西省南昌市高三年级第一次模拟考试数学

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［南昌一模］2023届江西省南昌市高三年级第一次模拟考试数学试卷答案

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1．有下列命题：
①双曲线$\frac{{x}^{2}}{25}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1与椭圆$\frac{x^2}{35}+{y^2}=1$有相同的焦点；
②“$-\frac{1}{2}＜x＜0$”是“2x²-5x-3＜0”的必要不充分条件；
③对于函数f（x）=x³-3x²，f（0）=0是极大值，f（2）=-4是极小值；
④?x∈R，x²-3x+3≠0．
其中真命题的序号是①③④．

分析根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．

解答解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，
若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S_△ABC不变，高最大时体积最大，
所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为$\frac{1}{3}$S_△ABC×DQ=$\frac{2}{3}$，
即$\frac{1}{3}$×1×DQ=$\frac{2}{3}$，∴DQ=2，如图．
设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，
OA²=AQ²+OQ²，即R²=1²+（2-R）²，∴R=$\frac{5}{4}$
则这个球的表面积为：S=4π（$\frac{5}{4}$）²=$\frac{25π}{4}$
故选：B．

点评本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．

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