江西省2023年初中学业水平模拟考试（四）数学

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江西省2023年初中学业水平模拟考试（四）数学试卷答案

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14．光线从A（-3，4）点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C（1，6），则BC所在直线的方程为（　　）

分析（1）先把极坐标方程化为普通方程，写出圆C的普通方程，再化为极坐标方程即可．
（2）直线θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R）的普通方程为y=$\sqrt{3}$x，求出圆心C（1，0）到直线y=$\sqrt{3}x$的距离d，从而直线θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R）被圆C所截得的弦长：|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$．

解答解：（1）把极坐标形式化为直角坐标系形式，
∵点P（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），∴x=$\sqrt{2}sin\frac{π}{4}$=1，y=$\sqrt{2}sin\frac{π}{4}$=1，∴点P（1，1）．
∵直线ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$ρsinθcos\frac{π}{3}-ρcosθsin\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}ρsinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴y-$\sqrt{3}x$=-$\sqrt{3}$，
令y=0，则x=1，∴直线与x轴的交点为C（1，0）．
∴圆C的半径r=|PC|=$\sqrt{（1-1）^{2}+（1-0）^{2}}$=1．
∴圆C的方程为：（x-1）²+y²=1，展开为：x²-2x+1+y²=1，
化为极坐标方程：ρ²-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
∴圆C的极坐标方程为：ρ=2cosθ．
（2）∵直线θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），∴直线的普通方程为y=$\sqrt{3}x$，
∵圆心C（1，0）到直线y=$\sqrt{3}x$的距离d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴直线θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R）被圆C所截得的弦长：
|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{1-\frac{3}{4}}$=1．
∴直线θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R）被圆C所截得的弦长为1．

点评本题考查极坐标方程与普通方程的互化，考查直线截圆所得弦长的求法，灵活利用极坐标方程与普通方程的互化公式是解决问题的关键．

江西省2023年初中学业水平模拟考试（四）数学