2023年普通高等学校招生全国统一考试·冲刺押题卷(新高考)(五)数学

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2023年普通高等学校招生全国统一考试·冲刺押题卷(新高考)(五)数学试卷答案

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15．某公司生产一批A产品需要原材料500吨，每吨原材料可创造利润12万元．该公司通过设备升级，生产这批A产品所需原材料减少了x吨，且每吨原材料创造的利润提高0.5x%；若将少用的x吨原材料全部用于生产公司新开发的B产品，每吨原材料创造的利润为12（a-$\frac{13}{1000}$x）万元（a＞0）．
（Ⅰ）若设备升级后生产这批A产品的利润不低于原来生产该批A产品的利润，求x的取值范围．
（Ⅱ）若生产这批B产品的利润始终不高于设备升级后生产这批A产品的利润，求a的最大值．

分析通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出$\overrightarrow{{D}_{1}{A}_{1}}$，然后求解距离．

解答解：如图建立空间直角坐标系，
则D₁（0，0，2），A₁（2，0，2），D（0，0，0），B（2，2，0），
∴$\overrightarrow{{D}_{1}{A}_{1}}$=（2，0，0），
$\overrightarrow{{DA}_{1}}$=（2，0，2），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），
设平面A₁BD的一个法向量$\overline{n}$=（x，y，z），
$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{DA}_{1}}=2x+2z=0\\\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0\end{array}\right.$．
令x=1，则$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
∴点D₁到平面A₁BD的距离d=$\frac{|\overrightarrow{{D}_{1}{A}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评本题考查空间向量的数量积的应用，点到平面的距离的求法，考查计算能力．

2023年普通高等学校招生全国统一考试·冲刺押题卷(新高考)(五)数学