天壹名校联盟·2023年上学期高二3月大联考数学

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天壹名校联盟·2023年上学期高二3月大联考数学试卷答案

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9．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（　　）
①已知f（x）=x²+bx+c是偶函数，则b=0
②若函数f（x）的值域为[0，2]，则函数f（2x）的值域为[0，2]
③若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；
④已知集合P={a，b}，Q={-1，0，1}则映射f：P→Q中满足f（b）=0的映射共有3个．
⑤如果二次函数y=3x²+2（a-1）x+b在区间（-∞，1]上是减函数，那么a的取值范围是a≤-2．

分析设出M的坐标，通过解直角三角形表示出切线长，利用两点距离公式表示出|MQ|的长，利用已知条件求出点M 的轨迹方程．

解答解：设点M的坐标为（x，y），
则点M到圆的切线长|MA|=$\sqrt{{MO}^{2}-{AO}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-1}$，
|MQ|=$\sqrt{{（x-2）}^{2}+{y}^{2}}$，
（1）当动点M到圆的切线长与|MQ|的比值为1时，
$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-1}$=$\sqrt{{（x-2）}^{2}+{y}^{2}}$，
化简得：4x-5=0，
此时点M的轨迹是一条与x轴垂直的直线；
（1）当动点M到圆的切线长与|MQ|的比值为2时，
$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-1}$=2$\sqrt{{（x-2）}^{2}+{y}^{2}}$，
化简得3x²+3y²-16x+17=0，
此时点M的轨迹是一个圆．

点评本小题考查曲线与方程的关系，轨迹的概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力．直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．

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