2024-2023湖南省高一阶段性诊断考试(23-355A)数学

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2024-2023湖南省高一阶段性诊断考试(23-355A)数学试卷答案

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3．数列{a_n}前n项的和S_n=n²+1，则a₃=5，a₅=9．

分析（Ⅰ）由题意设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），由已知可得a²-b²=1，$\frac{1}{2}（2a）b=\sqrt{2}$，联立求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）由题意设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），利用椭圆的通径长结合a²-b²=1求得a，b的值，再由隐含条件求出c，则椭圆的离心率可求．

解答解：（Ⅰ）由题意设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），
则有a²-b²=1，$\frac{1}{2}（2a）b=\sqrt{2}$，
解得$a=\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由题意设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
则有$\frac{2{b}^{2}}{a}=3$，又a²-b²=1，∴2a²-3a-2=0，
解得：a=2或a=-$\frac{1}{2}$（舍）．
∴b²=a²-1=3，c²=a²-b²=4-3=1，则c=1．
∴椭圆C的离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$．

点评本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆方程的求法，是中档题．

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