山西省2024-2023学年度八年级第二学期阶段性练习（一）数学

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山西省2024-2023学年度八年级第二学期阶段性练习（一）数学试卷答案

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7．已知椭圆C的方程为x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，定点N（0，1），过圆M：x²+y²=$\frac{4}{5}$上任意一点作圆M的一条切线交椭圆C于A，B两点．
（1）求证：$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$；
（2）若点P，Q在椭圆C上，直线PQ与x轴平行，直线PN交椭圆于另一个不同的点S，问：直线QS是否经过一个定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，说明理由．

分析由题意画出图形，过点C作CM⊥AB于点M，根据题意得：CM=BD=20米，∠ACM=30°，∠ADB=60°，然后在Rt△ACM与Rt△ADB中，用正切函数计算即可求得两楼的高度

解答解：如图过点C作CM⊥AB于点M，根据题意得：CM=BD=20米，∠ACM=30°，∠ADB=60°，
在Rt△ACM中，tan30°=$\frac{AM}{CM}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴AM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CM=20×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$（米），
在Rt△ADB中，tan60°=$\frac{AB}{BD}$
∴AB=DB•tan60°=20$\sqrt{3}$（米），
CD=AB-AM=20$\sqrt{3}$-$\frac{20\sqrt{3}}{3}$=$\frac{40\sqrt{3}}{3}$（米）
所以甲楼高$20\sqrt{3}$米，乙楼高$\frac{{40\sqrt{3}}}{3}$米

点评本题考查了应用正弦定理、余弦定理解三角形应用题问题；一般是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，通过解这些三角形，从而使实际问题得到解决．

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