铜仁市2023年高三适应性考试（二）数学

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铜仁市2023年高三适应性考试（二）数学试卷答案

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7．设定义R上在函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}，x＜0}\\{a{x}^{3}+（b-4a）{x}^{2}-（4b+m）x+n，0≤x≤4}\\{a（lo{g}_{4}x-1），x＞4}\end{array}\right.$（a，b，m，n为常数，且a≠0）的图象不间断．
（1）求m，n的值；
（2）设a，b互为相反数，且f（x）是R上的单调函数，求a的取值范围；
（3）若a=1，b∈R，试讨论函数g（x）=f（x）+b的零点的个数，并说明理由．

分析（Ⅰ）由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出直线L的普通方程，由cos²α+sin²α=1，能求出曲线C的普通方程．
（Ⅱ）设Q（5+cosα，sinα），求出Q到直线L的距离，由此利用三角函数性质能求出结果．

解答解：（Ⅰ）∵直线L：ρcosθ-$\sqrt{3}$ρsinθ+1=0，
∴直线L的普通方程为：$x-\sqrt{3}y+1=0$，
∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=5+cosα\\y=sinα\end{array}\right.$（α为参数），
∴曲线C的普通方程为（x-5）²+y²=1．…（5分）
（Ⅱ）设Q（5+cosα，sinα），Q到直线L的距离：
$d=\frac{{|5+cosα-\sqrt{3}sinα+1|}}{2}=3-（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinα-\frac{1}{2}cosα）=3-sin（α-\frac{π}{6}）$，
当$sin（α-\frac{π}{6}）=1$时，即$α=\frac{2π}{3}$，d_min=2
此时点Q坐标为$Q（\frac{9}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$…（10分）

点评本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化，考查点到直线距离的最小值的求法，是基础题，解题时要注意公式ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，cos²α+sin²α=1的合理运用．

铜仁市2023年高三适应性考试（二）数学