[晋一原创测评]山西省2023年初中学业水平考试模拟测评（一）数学

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[晋一原创测评]山西省2023年初中学业水平考试模拟测评（一）数学试卷答案

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8．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosB}{sinB}$=$\frac{1}{sinC}$，且c=2．
（1）求ab的值；
（2）若△ABC的面积S=$\sqrt{3}$，求a²+b²的值．

分析（1）直接根据函数图象过点（2，1）求出实数a；
（2）根据对数函数的单调性列出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{m^2-m＞0}\\{m^2-m＜2}\end{array}\right.$，解出不等式即可．

解答解：（1）∵函数f（x）的图象过点（2，1），
∴f（2）=1，即log_a2=1，解得a=2，
因此，f（x）=log₂x（x＞0）；
（2）$f（{m^2}-m）={log_2}（{m^2}-m）$，
∵f（m²-m）＜1且1=log₂2，
∴log₂（m²-m）＜2，
该不等式等价为：$\left\{\begin{array}{l}{m^2-m＞0}\\{m^2-m＜2}\end{array}\right.$
解得，-1＜m＜0或1＜m＜2，
所以实数m的取值范围为（-1，0）∪（1，2）．

点评本题主要考查了对数函数的图象和性质，涉及函数的单调性和一元二次不等式的解法，属于中档题．

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