2023普通高等学校招生全国统一考试·冲刺预测卷XJC(三)3数学

2023普通高等学校招生全国统一考试·冲刺预测卷XJC(三)3数学试卷答案,我们目前收集并整理关于2023普通高等学校招生全国统一考试·冲刺预测卷XJC(三)3数学得系列试题及其答案，更多试题答案请关注微信公众号：趣找答案/直接访问www.qzda.com(趣找答案)

2023普通高等学校招生全国统一考试·冲刺预测卷XJC(三)3数学试卷答案

以下是该试卷的部分内容或者是答案亦或者啥也没有，更多试题答案请关注微信公众号：趣找答案/直接访问www.qzda.com(趣找答案)

17．（1）已知关于x的二次函数f（x）=ax²-4bx+1．设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a，b，求方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1表示焦点在x轴上且离心率小于$\frac{\sqrt{3}}{2}$的椭圆的概率．

分析（1）由$\overrightarrow{{F}_{1}O}$=$\overrightarrow{PM}$，可得四边形F₁OMP是平行四边形，又$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OM}|}$=$\frac{\overrightarrow{O{F}_{1}}•\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{O{F}_{1}}||\overrightarrow{OP}|}$，可知F₁OMP是菱形，由此可以导出a，b，c的数量关系，从而求出双曲线的离心率；
（2）运用离心率公式和N满足双曲线的方程，解方程可得a，b，即可得到所求双曲线的方程．

解答解：（1）∵$\overrightarrow{{F}_{1}O}$=$\overrightarrow{PM}$，
∴四边形F₁OMP是平行四边形，
又$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OM}|}$=$\frac{\overrightarrow{O{F}_{1}}•\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{O{F}_{1}}||\overrightarrow{OP}|}$，
可得cos∠POM=cos∠POF₁，
即有∠POM=∠POF₁，
则四边形F₁OMP是菱形，
设PM与y轴交于点N，
∵|F₁O|=|PM|=c，|MN|=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
∴P点的横坐标为-（c-$\frac{{a}^{2}}{c}$）=-$\frac{{b}^{2}}{c}$，
把x=-$\frac{{b}^{2}}{c}$代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，得y=±$\sqrt{\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}}-\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}-4{c}^{2}+4{a}^{2}}$，
∴M（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}}$-$\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}$-4c²+4a²），
∴|OM|=$\sqrt{\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}}-4{c}^{2}+4{a}^{2}}$．
∵四边形F₁OMP是菱形，∴|OM|=|F₁O|，
即$\sqrt{\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}}-4{c}^{2}+4{a}^{2}}$=c．
整理得e⁴-5e²+4=0，解得e²=4或e²=1（舍去）．
∴e=2，或e=-2（舍去）．
（2）由（1）可得c=2a，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
代入点N（2，$\sqrt{3}$），可得
$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{3}{{b}^{2}}$=1，
解方程可得，a=$\sqrt{3}$，b=3，
即有双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

点评本题考查双曲线的离心率和方程，考查向量的共线和数量积的夹角公式，考查运算能力，属于中档题．

2023普通高等学校招生全国统一考试·冲刺预测卷XJC(三)3数学